Rychlost je definována jako zrychlení objektu v určitém směru. V mnoha běžných situacích používáme rovnici v = s/t, kde v je rychlost, s se rovná celkovému posunutí objektu od jeho počátečního bodu a t se rovná uplynulému času. Technicky však výsledek rovnice představuje pouze „průměrnou“rychlost v průběhu. Pomocí výpočtu je možné zjistit rychlost objektu kdykoli během trasy. Říká se tomu „okamžitá rychlost“, která je definována rovnicí v = (ds)/(dt), nebo jinými slovy, rovnice derivace průměrné rychlosti objektu.
kroky
Část 1 ze 3: Výpočet okamžité rychlosti
Krok 1. Začněte s rovnicí rychlosti z hlediska posunutí
Abyste získali okamžitou rychlost objektu, potřebujete nejprve rovnici, která ukazuje polohu objektu (z hlediska posunutí) v daném okamžiku. To znamená, že rovnice musí mít proměnnou s sám na jedné straně a t na druhé straně, ale ne nutně sám, takto:
s = -1,5 t2+ 10t + 4
-
V této rovnici jsou proměnné:
-
- Posun = s. Vzdálenost, kterou objekt ujel z výchozí polohy. Pokud se například předmět pohybuje o 10 metrů vpřed a 7 metrů vzad, celkový posun je 10 - 7 = 3 metry (ne 10 + 7 = 17 metrů).
-
Čas = t. Samovysvětlující. Obvykle se měří v sekundách.
-
Krok 2. Vypočítejte derivaci rovnice
Derivace rovnice je jen jinou rovnicí, která ukazuje její křivku v libovolném časovém okamžiku. Chcete -li najít derivaci vzorce posunutí, odlište funkci podle tohoto obecného pravidla pro hledání derivací: Pokud y = a*x , derivace = a*n*xn-1. Toto pravidlo platí pro každý výraz na straně rovnice, která obsahuje t.
- Jinými slovy, začněte na straně rovnice zleva doprava s t. Pokaždé, když najdete t, odečtěte 1 od exponentu a vynásobte celý výraz původním exponentem. Jakékoli konstantní členy (termíny, které neobsahují t) zmizí, když se vynásobí 0. Tento proces není tak obtížný, jak to zní - viz výše odvozenou rovnici jako příklad:
s = -1,5 t2+ 10t + 4
(2) -1, 5t(2-1)+ (1) 10 t1 - 1 + (0) 4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Krok 3. Vyměňte s za ds/dt
Chcete -li ukázat, že nová rovnice je derivací staré, nahraďte s notací ds/dt. Technicky znamená zápis „derivát s vzhledem k t“. Jednodušší způsob, jak tomu porozumět, je myslet si, že ds/dt je jen křivka daného bodu v první rovnici. Chcete -li například najít křivku čáry vytvořené s = -1, 5t2 + 10t + 4 při t = 5, stačí přiřadit 5 k t v jeho derivaci.
- V tomto případě by hotová rovnice měla vypadat takto:
ds/dt = -3t + 10
Krok 4. Přiřaďte hodnotu t v nové rovnici, abyste našli okamžitou rychlost
Po získání odvozené rovnice je snadné najít okamžitou rychlost v kterémkoli časovém okamžiku. Jediné, co musíte udělat, je vybrat hodnotu pro t a přiřadit ji odvozené rovnici. Pokud například chcete najít okamžitou rychlost s t = 5, stačí nahradit t hodnotou 5 na derivaci ds/dt = -3t + 10. Takže vyřešte rovnici:
ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3 (5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = - 5 metrů za sekundu
Všimněte si toho, že byl použit metr/druhá jednotka měření výše. Protože máme co do činění s posunem v metrech, časem v sekundách a rychlostí obecně je pouze posunutí v čase, je měření vhodné
Část 2 ze 3: Odhad okamžité rychlosti na grafu
Krok 1. Grafujte posunutí objektu v průběhu času
Ve výše uvedené části bylo zmíněno, že deriváty nejsou nic jiného než vzorce, které pomáhají najít křivku v libovolném časovém okamžiku v rovnici, na kterou odkazuje. Ve skutečnosti při vykreslování posunutí objektu čárou na grafu je křivka čáry v daném bodě stejná jako okamžitá rychlost objektu v tomto bodě.
- Chcete-li zobrazit graf, použijte osu x k znázornění času a osu y pro znázornění posunutí. Poté rozdělte body přiřazením hodnot pro t v rovnici posunutí, vyhledáním hodnot pro s a vykreslením t, s (x, y) do grafu.
- Graf se může rozprostírat pod osou x. Pokud čára představující pohyb objektu sahá pod osu x, představuje objekt pohybující se zpět od místa, kde začal. Obecně se graf nebude rozšiřovat za osu y - není obvyklé měřit rychlost objektů pohybujících se zpět v čase!
Krok 2. Vyberte na přímce bod P a bod Q v jeho blízkosti
K nalezení křivky v bodě P se používá trik s názvem „výpočet limitu“. Výpočet limitu zahrnuje výběr dvou bodů (P a Q) na zakřivené čáře a nalezení křivky čáry, která spojuje dva body znovu a znovu, zatímco vzdálenost mezi P q Q klesá.
Řekněme, že posunovací čára obsahuje body (1, 3) a (4, 7). V tomto případě, pokud chcete najít křivku na (1, 3), definujte (1, 3) = P a (4, 7) = Q.
Krok 3. Najděte křivku mezi P a Q
Křivka mezi P a Q je rozdílem hodnot y pro P a Q oproti rozdílu hodnot x pro P a Q. Jinými slovy, H = (rOtázka -yPRO)/(XOtázka - XPRO), kde H je křivka mezi dvěma body. V předchozím příkladu je křivka mezi P a Q:
H = (rOtázka-yPRO)/(XOtázka- XPRO)
H = (7-3)/(4-1)
H = (4)/(3) = 1, 33
Krok 4. Opakujte několikrát a posuňte Q blíže k P
Cílem je zmenšovat vzdálenost mezi Q a P stále více, dokud se nedostanete do blízkosti jediného bodu. Čím menší je vzdálenost mezi Q a P, tím blíže bude křivka jejích malých segmentů ke křivce v bodě P. Uděláme to několikrát pro příkladovou rovnici pomocí bodů (2; 4, 8), (1, 5; 3, 95) a (1, 25; 3, 49) pro Q a původní bod (1, 3) pro P:
Q = (2; 4, 8):
H = (4, 8 - 3)/(2 - 1)
H = (1, 8)/(1) = 1, 8
Q = (1, 5,3, 95):
H = (3,95 - 3)/(1, 5 - 1)
H = (0,95)/(0,5) = 1, 9
Q = (1, 25; 3, 49):
H = (3, 49 - 3)/(1, 25 - 1)
H = (0,49)/(0,25) = 1, 96
Krok 5. Odhadněte křivku pro nekonečně malý interval na přímce
Jak se Q blíží k P, H se přiblíží ke křivce v bodě P. Nakonec se v nekonečně malém intervalu H bude rovnat křivce v P. Protože tento interval není možné změřit ani vypočítat, je pouze odhadován křivka v P, když je z testovaných bodů jasná.
-
V tomto příkladu jsme přesunutím Q blíže k P získali hodnoty 1, 8, 1, 9 a 1,96 pro H. Protože se tato čísla zdají blížit 2, lze říci, že
Krok 2. je dobrým odhadem pro křivku v P.
- Pamatujte, že křivka v daném bodě na přímce se rovná derivaci rovnice pro přímku v tomto bodě. Protože čára ukazuje posunutí objektu v čase a, jak je vidět na výše uvedené části, okamžitá rychlost objektu je derivací jeho posunutí v daném bodě, lze také říci, že 2 metry za sekundu je dobrý odhad pro okamžitou rychlost při t = 1.
Část 3 ze 3: Příklady problémů
Krok 1. Najděte okamžitou rychlost při t = 4, vzhledem k rovnici posunutí s = 5t3 - 3 t2 + 2t + 9.
To je stejné jako v příkladu v první sekci, až na to, že je to místo kvadratické rovnice kubický, takže to řeší stejným způsobem.
- Nejprve je zde derivace rovnice:
- Poté přiřadíme hodnotu t (4):
s = 5 t3- 3 t2+ 2t + 9
s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2 t(1 - 1) + (0) 9 t0 - 1
15 t(2) - 6t(1) + 2 t(0)
15 t(2) - 6t + 2
s = 15 t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 218 metrů za sekundu
Krok 2. Použijte grafický odhad k nalezení okamžité rychlosti v (1, 3) pro rovnici posunutí s = 4t2 - t.
Pro tento problém použijete (1, 3) jako bod P, ale musíte najít nějaké další blízké body, které použijete jako body Q. Jde tedy pouze o nalezení hodnot H a odhad.
- Nejprve najdeme body Q v t = 2, 1, 5, 1, 1 a 1, 01.
- Pak jsou tu hodnoty H:
- Jak se zdá, že hodnoty H se blíží 7, lze to říci 7 metrů za sekunduje dobrým odhadem okamžité rychlosti v (1, 3).
s = 4t2- t
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, takže Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1, 5)2 - (1, 5)
4 (2, 25) - 1, 5 = 9 - 1, 5 = 7, 5, potom Q = (1, 5,7, 5)
t = 1, 1:
s = 4 (1, 1)2 - (1, 1)
4 (1, 21) - 1, 1 = 4, 84 - 1, 1 = 3, 74, potom Q = (1, 1, 3, 74)
t = 1,01:
s = 4 (1, 01)2 - (1, 01)
4 (1, 0201) - 1, 01 = 4, 0804-1, 01 = 3, 0704, poté Q = (1, 01; 3, 0704)
Q = (2, 14):
H = (14-3)/(2-1)
H = (11)/(1) =
Krok 11.
Q = (1, 5,7, 5):
H = (7, 5 - 3)/(1, 5 - 1)
H = (4, 5)/(0, 5) =
Krok 9.
Q = (1, 1, 3, 74):
H = (3, 74 - 3)/(1, 1 - 1)
H = (0, 74)/(0, 1) = 7, 3
Q = (1, 01; 3, 0704):
H = (3, 0704 - 3)/(1, 01 - 1)
H = (0, 0704)/(0, 01) = 7, 04
Tipy
- Chcete -li zjistit zrychlení (změna rychlosti v čase), použijte metodu v první části k získání odvozené rovnice pro funkci posunutí. Získejte tedy další derivaci, tentokrát z odvozené rovnice. Tak budete mít rovnici pro nalezení zrychlení v daném čase - vše, co musíte udělat, je přiřadit hodnotu času.
- Rovnice vztahující se k Y (posunutí) k X (čas) může být docela jednoduchá, například Y = 6x + 3. V tomto případě je křivka konstantní a pro získání křivky nemusíte hledat derivaci, která je, podle základního modelu Y = mx + b pro lineární grafy, 6.
- Posun je podobný vzdálenosti, ale má určitý směr, což způsobuje vektorový posun a skalární zrychlení. Posun může být záporný a vzdálenost pouze kladná.