3 způsoby, jak zjednodušit algebraické výrazy

Obsah:

3 způsoby, jak zjednodušit algebraické výrazy
3 způsoby, jak zjednodušit algebraické výrazy

Video: 3 způsoby, jak zjednodušit algebraické výrazy

Video: 3 způsoby, jak zjednodušit algebraické výrazy
Video: Výšky trojúhelníku 2024, Březen
Anonim

Naučit se zjednodušovat algebraické výrazy je základním požadavkem pro zvládnutí základní algebry a je nesmírně cenným nástrojem pro všechny matematiky. Zjednodušení umožňuje matematikovi vytvářet složité, dlouhé nebo nevhodné výrazy do jednodušších nebo pohodlnějších forem a přitom zůstat rovnocenné. Naučit se dovednost základního zjednodušení je docela snadné - i pro ty, kteří nemají rádi matematiku. Dodržováním několika jednoduchých kroků je možné zjednodušit mnoho z nejběžnějších typů algebraických výrazů, aniž byste měli jakýkoli druh matematických znalostí. Nejprve si přečtěte krok 1!

kroky

Pochopení důležitých pojmů

Zjednodušte algebraické výrazy Krok 1
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 1

Krok 1. Definujte „související pojmy“pomocí proměnných a mocnin

V algebře mají „afinní čísla“stejnou konfiguraci proměnných, která se zvýší na stejné mocniny. Jinými slovy, aby byly dva výrazy „afinní“, musí mít stejné proměnné nebo vůbec žádné a každý z nich musí být povýšen na stejnou mocnost nebo vůbec žádnou. Na pořadí proměnných v rámci výrazu nezáleží.

Například 3x2 a 4x2 jsou to související výrazy, protože každý z nich obsahuje proměnnou x zvýšenou na druhou mocninu. Nicméně, x a x2 nejsou to související pojmy, protože každý má x zvýšen na jinou moc. Podobně -3yx a 5xz nejsou související výrazy, protože každý z nich má odlišnou sadu proměnných.

Zjednodušte algebraické výrazy Krok 2
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 2

Krok 2. Faktor při psaní čísel jako součin dvou faktorů

Faktorizace je koncept reprezentující dané číslo jako součin dvou faktorů vynásobených dohromady. Čísla mohou mít více než jednu sadu faktorů - například číslo 12 může být tvořeno 1 × 12, 2 × 6 a 3 × 4, takže můžete prohlásit, že 1, 2, 3, 4, 6 a 12 jsou všechny faktory 12. Dalším způsobem myšlení je, že faktory čísla jsou ta čísla, kterými je stejně dělitelné.

  • Pokud například chceme faktor 20, můžeme to napsat jako 4×5.
  • Všimněte si, že proměnné termíny mohou být také zohledněny. Například -20x lze zapsat jako 4 (-5x).
  • Prvočísla nelze započítat, protože jsou dělitelná pouze sama sebou a 1.
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 3
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 3

Krok 3. Pomocí zkratky PEMDAS si zapamatujte pořadí operací

Občas zjednodušení výrazu neznamená nic jiného než provádění operací s tímto výrazem, dokud to již není možné. V takových případech je důležité si pamatovat pořadí operací, aby nedošlo k žádným aritmetickým chybám. Zkratka PEMDAS může být velkou pomocí, když si potřebujete zapamatovat pořadí operací - písmena odpovídají typům operací, které je třeba provést, v pořadí:

  • PROpostroje.
  • Aexponentů.
  • Mnásobení.
  • Division.
  • THEedice.
  • sodčítání.

Metoda 1 ze 3: Kombinace souvisejících termínů

Zjednodušte algebraické výrazy Krok 4
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 4

Krok 1. Napište svou rovnici

Nejjednodušší algebraické rovnice, zahrnující pouze několik proměnných členů s celočíselnými koeficienty a bez zlomků, radikálů atd., Lze často vyřešit v několika krocích. Jako u většiny matematických úloh je prvním krokem při zjednodušení rovnice její zápis!

Jako příklad problému budeme v dalších krocích uvažovat o výrazu 1+2x-3+4x.

Zjednodušte algebraické výrazy Krok 5
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 5

Krok 2. Identifikujte související termíny

Dále vyhledejte ve své rovnici související výrazy. Pamatujte, že podobné termíny mají stejné proměnné i stejné exponenty.

Pojďme například identifikovat související výrazy v rovnici 1+2x-3+4x. Oba 2x a 4x mají stejnou proměnnou zvýšenou na stejný exponent (v tomto případě x nejsou zvýšeny na žádnou moc). Navíc 1 a -3 jsou související termíny, protože ani jeden nemá proměnné. Takže v naší rovnici 2x a 4x a 1 a -3 jsou související pojmy.

Zjednodušte algebraické výrazy Krok 6
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 6

Krok 3. Kombinujte související výrazy

Nyní, když jste identifikovali související výrazy, můžete je pro zjednodušení rovnice zkombinovat. Sečtením výrazů dohromady (nebo jejich odečtením pro záporné výrazy) snížíte každou množinu výrazů pomocí proměnných a exponentů rovných singulárnímu výrazu.

  • V našem příkladu přidejme související výrazy:

    • 2x+4x = 6x.
    • 1+(-3) = - 2.
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 7
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 7

Krok 4. Vytvořte zjednodušený výraz ze svých zjednodušených výrazů

Po zkombinování souvisejících výrazů vytvořte výraz ze sady nových a zjednodušených výrazů. Měli byste získat jednodušší výraz s výrazem pro každou jinou sadu proměnných a exponentů v původním výrazu. Tento nový výraz je stejný jako první.

V našem příkladu jsou zjednodušené výrazy 6x a -2, takže nový výraz bude 6x-2. Tento zjednodušený výraz je stejný jako originál (1+2x-3+4x), ale menší a snadněji řešitelný. Je také jednodušší faktorovat, což, jak uvidíme dále, je další důležitou dovedností ve zjednodušení.

Zjednodušte algebraické výrazy Krok 8
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 8

Krok 5. Při kombinování souvisejících výrazů dodržujte pořadí operací

V extrémně jednoduchých výrazech, jako je ten v předchozím příkladu, je identifikace výrazů jednoduchá. U složitějších výrazů, jako jsou výrazy zahrnující výrazy v závorkách, zlomky a radikály, však související výrazy, které lze kombinovat, nemusí být hned zřejmé. V těchto případech dodržujte pořadí operací a podle potřeby provádějte operace s výrazy ve výrazu, dokud nezůstane pouze sčítání a odčítání.

  • Zvažte například rovnici 5 (3x-1)+x (2x/2)+8-3x. Bylo by nesprávné okamžitě identifikovat 3x a 2x jako související výrazy a kombinovat je navzdory závorkám, protože nejprve musíme provést další operace. Zpočátku provedeme aritmetické operace s výrazem podle pořadí operací, abychom získali termíny, které můžeme použít. Viz. níže:

    • 5 (3x-1)+x (2x/2)+8-3x.
    • 15x-5+x (x)+8-3x.
    • 15x-5+x2.

      Nyní, protože zbývají pouze operace sčítání a odčítání, můžeme kombinovat související výrazy

    • X2+12x+3.

Metoda 2 ze 3: Faktoring

Zjednodušte algebraické výrazy Krok 9
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 9

Krok 1. Identifikujte největšího společného dělitele ve výrazu

Faktoring je způsob, jak zjednodušit výrazy odstraněním běžných faktorů z výrazových výrazů. Pro začátek najděte největšího společného dělitele, kterého všechny výrazy ve výrazu sdílejí - jinými slovy největší počet, kterým jsou všechny výrazy ve výrazu stejně dělitelné.

  • Použijme rovnici 9x2+27x-3. Všimněte si, že všechny termíny v rovnici jsou dělitelné 3. Protože termíny nejsou stejně dělitelné jiným větším číslem, můžeme určit, že

    Krok 3. je největším společným dělitelem ve výrazu.

Zjednodušte algebraické výrazy Krok 10
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 10

Krok 2. Rozdělte výrazy podle největšího společného dělitele

Dále rozdělte každý výraz v rovnici největším nalezeným společným dělitelem. Výsledné termíny budou mít nižší koeficienty než v původním výrazu.

  • Rozeberme naši rovnici jejím největším společným dělitelem, 3. Abychom to udělali, rozdělíme každý člen o 3.

    • 9x2/3 = 3x2
    • 27x/3 = 9x
    • -3/3 = -1

      Náš nový výraz tedy je 3x2+9x-1.

Zjednodušte algebraické výrazy Krok 11
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 11

Krok 3. Vykreslete svůj výraz jako součin největšího společného dělitele a zbývajících výrazů

Nový výraz není stejný jako předchozí, to znamená, že nelze říci, že je zjednodušený. Aby se rovnal předchozímu, je třeba si uvědomit fakt, že jej dělil největší společný dělitel. Zapojte výraz do závorek a jako koeficient pro výraz v závorkách nastavte největšího společného dělitele původní rovnice.

V případě našeho příkladového výrazu 3x2+9x-1, uzavřeme výraz v závorkách a vynásobíme největším společným dělitelem původní rovnice, abychom získali 3 (3x2+9x-1). Tato rovnice je stejná jako původní, 9x2+27x-3.

Zjednodušte algebraické výrazy Krok 12
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 12

Krok 4. Pomocí faktorizace zjednodušte zlomky

Nyní si možná říkáte, proč je faktorizace užitečná, když po odstranění největšího společného dělitele musí být nový výraz znovu vynásoben. Faktorizace ve skutečnosti umožňuje matematikovi při zjednodušení výrazu provést řadu triků. Jeden z nejjednodušších zahrnuje využití skutečnosti, že vynásobením čitatele a jmenovatele zlomku stejným číslem vznikne ekvivalentní zlomek. Viz. níže:

  • Řekněme náš původní příklad výrazu, 9x2+27x-3, být čitatelem většího zlomku s 3 ve jmenovateli. Tento zlomek by vypadal takto: (9x2+27x-3)/3. Ke zjednodušení této frakce můžeme použít faktorizaci:

    Faktorizovanou formu našeho původního výrazu nahradíme výrazem v čitateli: [3 (3x2+9x-1)]/3.

  • Všimněte si, že nyní mají čitatel i jmenovatel koeficient 3. Vydělením obou 3 dostaneme: (3x3+9x-1)/1.
  • Protože každý zlomek, který má ve jmenovateli „1“, se rovná výrazům v čitateli, můžeme říci, že původní zlomek lze zjednodušit na 3x2+9x-1.

Metoda 3 ze 3: Uplatnění dalších dovedností zjednodušení

Zjednodušte algebraické výrazy Krok 13
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 13

Krok 1. Zjednodušte zlomky dělením společných faktorů

Jak je uvedeno výše, pokud čitatel a jmenovatel výrazu sdílejí faktory, mohou být tyto faktory zcela odstraněny ze zlomku. Někdy to bude vyžadovat faktorizaci čitatele, jmenovatele nebo obojí (jak tomu bylo výše), zatímco jindy budou sdílené faktory zřejmé. Všimněte si, že je také možné rozdělit výrazy čitatele výrazem ve jmenovateli, jednotlivě, a získat tak zjednodušený výraz.

  • Vezměme si příklad, který nutně nevyžaduje okamžitou faktorizaci. V případě zlomku (5x2+10x+20)/10, můžeme pro zjednodušení každý člen v čitateli vydělit číslem 10 ve jmenovateli, ačkoli koeficient „5“v 5x2 není větší než 10, a proto nemůže mít 10 jako dělitel.

    Tím se dostáváme k výsledku [(5x2)/10]+x+2. Pokud dáváme přednost, můžeme první výraz přepsat o (1/2) x2 abychom získali výsledek (1/2) x2+x+2.

Zjednodušte algebraické výrazy Krok 14
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 14

Krok 2. Ke zjednodušení radikálů použijte čtvercové faktory

Výrazy pod odmocninou se nazývají radikální výrazy. Lze je zjednodušit identifikací faktorů druhé mocniny (faktorů, které jsou druhou mocninou daného čísla) a samostatným provedením operace odmocniny, aby byly odstraněny zpod odmocniny.

  • Vezměme si následující příklad: √ (9). Pokud uvažujeme o čísle 90 jako součinu dvou jeho faktorů, 9 a 10, můžeme vzít odmocninu z 9, abychom dostali celé číslo 3 a odstranili ho z radikálu. Jinými slovy:

    • √(90).
    • √(9×10).
    • [√(9)×√(10)].
    • 3×√(10).
    • 3√10.
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 15
Zjednodušte algebraické výrazy Krok 15

Krok 3. Přidejte exponenty vynásobením dvou exponenciálních výrazů; odečtěte je rozdělením těchto výrazů

Některé algebraické výrazy vyžadují násobení nebo dělení exponenciálních výrazů. Namísto výpočtu každého exponenciálního výrazu a násobení nebo dělení ručně jednoduše přidejte exponenty při násobení a odečtěte je při dělení, abyste ušetřili čas. Tento koncept lze také použít ke zjednodušení proměnných výrazů.

  • Zvažte například výraz 6x3× 8x4+(x17/X15). Pokaždé, když je nutné vynásobit nebo rozdělit exponenty, odečteme nebo přidáme, abychom rychle našli zjednodušený výraz. Viz. níže:

    • 6x3× 8x4+(x17/X15)
    • (6 × 8) x3+4+(x17-15)
    • 48x7+x2
  • Důvod, proč to funguje, je následující:

    Násobení exponenciálních výrazů je v podstatě jako násobení dlouhých řetězců neexponenciálních výrazů. Například od x3 = x × x × x a x5 = x × x × x × x × x, x3× x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x x × x) nebo x8

  • Podobně je rozdělení exponenciálních výrazů jako rozdělení dlouhých řetězců neexponenciálních výrazů. X5/X3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Vzhledem k tomu, že každý výraz v čitateli lze zrušit kombinačním termínem ve jmenovateli, zůstanou nám dva x v čitateli a žádný ve jmenovateli, čímž dostaneme odpověď x2.

Tipy

  • Vždy mějte na paměti, že tato čísla musíte považovat za znaménka plus nebo mínus. Mnoho lidí má těžké přemýšlet „Jaké znamení bych zde měl dát?”
  • V případě potřeby požádejte o pomoc!
  • Zjednodušení algebraických výrazů není snadné, ale jakmile se v tom zorientujete, budete tuto dovednost využívat po celý život.

Oznámení

  • Vždy hledejte související výrazy a nenechte se zmást exponenty.
  • Nenechte náhodně sečíst žádné číslo, exponent nebo operaci, která do výrazu nepatří.

Doporučuje: